题目内容
已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若在内恒成立,求实数的取值范围.
(Ⅲ),求证:.
(Ⅰ)当时,在单调递减,在上单调递增;
当时,在单调递减,在,上单调递增;
当时,在上单调递增;
当时,在单调递减, 在,上单调递增;
(Ⅱ)
(Ⅲ)详见解析
解析试题分析:(Ⅰ)利用导数的符号确定函数的单调区间。函数含有参数,故需要分情况讨论.
(Ⅱ)思路一、一般地若任意使得,则;若任意使得,则.由得:恒成立,所以小于等于的最小值.
思路二、除外,是的一个极值点,故可首先考虑这个特殊值.由得: ,这样只需考虑时在内是否恒成立.这是本题的特点,需要仔细观察、分析.若发现其特点,则运算大大简化.所以这个题有较好的区分度.
(Ⅲ)涉及数列求和的不等式的证明,一般有两种类型,一种是先求和,后放缩;一种先放缩,后求和.
本题显然属于后者.
解答题中的最后一问,往往要用前面的结论,本题也不例外.由(Ⅱ)取可得:,由此可将不等式左边各项放缩.
但是如果第一项也用这个结论来放缩,则得不到右边的式子.这时就考虑从第二项开始,或从第三项开始用这个结论.
试题解析:(Ⅰ)
当时,在单调递减,在上单调递增;
当时,在单调递减,在,上单调递增;
当时,在上单调递增;
当时,在单调递减, 在,上单调递增.
(Ⅱ)法一、由得:
令,则
令,则即
所以由得
所以在内单调递减,在内单调递增.所以
从而
法二、由得:
又时, 在单调递减,在上单调递增
所以即:
所以若在内恒成立,实数的取值范围为.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知: 又时, 即(时取等号)
所以当时:
又,所以
.
考点:本题考查函数的导数、导数的应用及不等式的证明.
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