题目内容
【题目】已知a∈R,函数f(x)=log2( +a).
(1)当a=5时,解不等式f(x)>0;
(2)若关于x的方程f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素,求a的取值范围.
(3)设a>0,若对任意t∈[ ,1],函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.
【答案】
(1)
解:当a=5时,f(x)=log2( +5),
由f(x)>0;得log2( +5)>0,
即 +5>1,则
>﹣4,则
+4=
>0,即x>0或x<﹣
,
即不等式的解集为{x|x>0或x<﹣ }
(2)
解:由f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0得log2( +a)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0.
即log2( +a)=log2[(a﹣4)x+2a﹣5],
即 +a=(a﹣4)x+2a﹣5>0,①
则(a﹣4)x2+(a﹣5)x﹣1=0,
即(x+1)[(a﹣4)x﹣1]=0,②,
当a=4时,方程②的解为x=﹣1,代入①,成立
当a=3时,方程②的解为x=﹣1,代入①,成立
当a≠4且a≠3时,方程②的解为x=﹣1或x= ,
若x=﹣1是方程①的解,则 +a=a﹣1>0,即a>1,
若x= 是方程①的解,则
+a=2a﹣4>0,即a>2,
则要使方程①有且仅有一个解,则1<a≤2.
综上,若方程f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素,则a的取值范围是1<a≤2,或a=3或a=4.
(3)
解:函数f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,
由题意得f(t)﹣f(t+1)≤1,
即log2( +a)﹣log2(
+a)≤1,
即 +a≤2(
+a),即a≥
﹣
=
设1﹣t=r,则0≤r≤ ,
=
=
,
当r=0时, =0,
当0<r≤ 时,
=
,
∵y=r+ 在(0,
)上递减,
∴r+ ≥
,
∴ =
=
,
∴实数a的取值范围是a≥ .
【解析】(1)当a=5时,解导数不等式即可.
(2)根据对数的运算法则进行化简,转化为一元二次方程,讨论a的取值范围进行求解即可.
(3)根据条件得到f(t)﹣f(t+1)≤1,恒成立,利用换元法进行转化,结合对勾函数的单调性进行求解即可.
本题主要考查函数最值的求解,以及对数不等式的应用,利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键.综合性较强,难度较大.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价为5元,销售单价与日均销售量的关系如图所示.
销售单价/元 | … | 6 | 6.5 | 7 | 7.5 | 8 | 8.5 | … |
日均销售量/桶 | … | 480 | 460 | 440 | 420 | 400 | 380 | … |
请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?