题目内容
12．某种产品是经过A，B，C三道工序加工而成的，A，B，C工序的产品合格率分别为$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{5}$，已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都合格时产品为一等品；有两道合格时为二等品；其他的为废品，不进入市场．（1）求加工一件产品为二等品的概率；
（2）设X为加工一件产品工序中合格的次数，求X的分布列和数学期望；
（3）正式生产前先试生产2件产品，求这2件产品都为废品的概率（用分数作答）．
分析 （1）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式、分类讨论求得加工一件产品为二等品的概率．
（2）分别求得P（X=0）、P（X=1）、P（X=2）、P（X=3）的值，可得X的分布列．
（3）先求出生产一件产品为废品的概率P（X=0）+P（X=1）的值，再利用相互独立事件的概率乘法公式求得这2件产品都为废品的概率．
解答 （1）设“加工一件产品为二等品”为事件A，
则P（A）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{5}$+$\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{4}{5}$+$\frac{1}{4}×\frac{2}{3}$$\frac{4}{5}$=$\frac{13}{30}$，
即加工一件产品为二等品的概率为$\frac{13}{30}$．
（2）P（X=0）=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{60}$，P（X=1）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{5}$+$\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{5}$ $\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{4}{5}$=$\frac{3}{20}$，P（X=2）=P（A）=$\frac{13}{30}$，P（X=3）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{4}{5}$=$\frac{2}{5}$，
故X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{1}{60}$ | $\frac{3}{20}$ | $\frac{13}{30}$ | $\frac{2}{5}$ |
（3）生产一件产品为废品的概率为P（X=0）+P（X=1）=$\frac{1}{60}$+$\frac{3}{20}$=$\frac{1}{6}$，
所以2件产品都为废品的概率为 $\frac{1}{6}×\frac{1}{6}$ $\frac{1}{36}$．
点评 本题考查相互独立事件的概率乘法公式及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，离散型随机变量的分布列与数学期望，属于基础题．
练习册系列答案
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