Question

16．已知函数f（x）=e^xsinx，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 首先求出f′（x），然后分别求出当f′（x）＞0、f′（x）＜0时x的取值范围，即可求出函数f（x）的单调区间．

解答 解：由于f（x）=e^xsinx，
所以f′（x）=e^xsinx+e^xcosx=e^x（sinx+cosx）=$\sqrt{2}$e^xsin（x+$\frac{π}{4}$），
当x+$\frac{π}{4}$∈（2kπ，2kπ+π），即x∈（2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$）时，f′（x）＞0；
当x+$\frac{π}{4}$∈（2kπ+π，2kπ+2π），即x∈（2kπ+$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{7π}{4}$）时，f′（x）＜0．
所以f（x）的单调递增区间为（2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$）（k∈Z），
单调递减区间为（2kπ+$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{7π}{4}$）（k∈Z）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，三角函数的性质，是一道中档题．