题目内容

已知函数f(x)=ax2-(4a+2)x+4lnx,其中a≥0.
(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的单调性.

(1)2x-y-4=0,(2)当a=0时,f(x)的单调增区间是(0,2),单调减区间是(2,+∞);
当0<a<时,f(x)的单调增区间是(0,2)和(,+∞),减区间为(2,);当a=时,f(x)的单调增区间是(0,+∞);当a>时,f(x)的单调增区间是(0,)和(2,+∞),减区间为(,2)

解析试题分析:(1)利用导数集合意义,在处导数值等于该点处切线的斜率,因为,所以
f ′(1)=2, 又切点为(1,-2),所以所求切线方程为y+2=2(x-1),(2)函数f(x)的单调性之所以要讨论,就是由于导函数为零时根的不确定性.因为,所以当a=0时,方程在定义域内只有一根;当时,需讨论两根的大小,三种情况0<a<,a=,及a>需一一讨论.解题过程中,最易忽视的是两根相等的情况;答题时最易出错的是将两个单调性相同的不连续区间用“并集”“或”合并写.
试题解析:解(1)当a=0时,f(x)=-2x+4lnx,
从而,其中x>0.                         2分
所以f′(1)=2.
又切点为(1,-2),
所以所求切线方程为y+2=2(x-1),即2x-y-4=0.      4分
(2)因为f(x)=ax2-(4a+2)x+4lnx,
所以,其中x>0.
①当a=0时,,x>0.
由f′(x)>0得,0<x<2,所以函数f(x)的单调增区间是(0,2);单调减区间是(2,+∞);    6分
②当0<a<时,因为>2,由f ′(x)>0,得x<2或x>
所以函数f(x)的单调增区间是(0,2)和(,+∞);单调减区间为(2,);      8分
③当a=时,,且仅在x=2时,f ′(x)=0,
所以函数f(x)的单调增区间是(0,+∞);
④当a>时,因0<<2,由f ′(x)>0,得0<x<或x>2,
所以函数f(x)的单调增区间是(0,)和(2,+∞);单调减区间为(,2).
综上,
当a=0时,f(x)的单调增区间是(0,2),单调减区间是(2,+∞);
当0<a<时,f(x)的单调增区间是(0,2)和(,+∞),减区间为(2,);
当a=时,f(x)的单调增区间是(0,+∞);
当a>时,f(x)的单调增区间是(0,)和(2,+∞),减区间为(,2).   10分
考点:利用导数求函数切线方程,利用导数求函数单调区间

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