Question

【题目】已知椭圆：的左右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，且周长为8.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在直线，使以为直径的圆经过坐标原点，若存在求出直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）不存在，理由见解析.

【解析】

（1）根据椭圆的定义可知周长为 ，即.又由，且，可求出，即可写出椭圆的方程；

（2）设出直线方程，将其代入椭圆的方程，转化为一元二次方程，写出韦达定理.以为直径的圆经过坐标原点，则，再将韦达定理的式子代入，化简为一个关于的方程，该方程有解，则存在直线满足题意，反之，则不存在.

（1）根据椭圆的定义可知周长为，

即，

离心率 ，则，

椭圆的标准方程为；

（2）由（1）得，

易知直线不能平行于轴，

故设直线的方程为，设、，

联立方程得，

，

若原点在以为直径的圆上，则，

即，即，

又

而上述关于的方程显然没有实数解，

故直线不存在.