题目内容
6．
将一个半径适当的小球放入如图所示的容器自上方的入口处，小球自由下落，小气在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$（Ⅰ）分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；
（Ⅱ）在容器 入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球个数，求ξ的分布列和数学期望．
分析 （Ⅰ）设出“小球落入A袋中”为事件M”，小球落入B袋中”为事件N，则事件M的对立事件N，而小球落入A袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，运用对立事件求解即可．
（II）确定随机变量ξ的所有可能的取值为0，1，2，3，4判断出二项分布，得出B（4，$\frac{2}{3}$），运用概率公式求解即可．
解答 解：（Ⅰ）记“小球落入A袋中”为事件M”，小球落入B袋中”为事件N，则事件M的对立事件N，
而小球落入A袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，
故P（M）=$\frac{1}{27}$+$\frac{8}{27}$=$\frac{1}{3}$，
从而P（N）=1-P（M）=1-$\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$．
（II）显然，随机变量ξ的所有可能的取值为0，1，2，3，4
且B（4，$\frac{2}{3}$），
故P（ξ=0）=${C}_{4}^{0}$×（$\frac{2}{3}$）0×（$\frac{1}{3}$）4=$\frac{1}{81}$，
P（ξ=1）=${C}_{4}^{1}$×（$\frac{2}{3}$）1×（$\frac{1}{3}$）3=$\frac{8}{81}$，
P（ξ=2）=${C}_{4}^{2}$×（$\frac{2}{3}$）2×（$\frac{1}{3}$）2=$\frac{8}{27}$，
P（ξ=3）=${C}_{4}^{3}$×（$\frac{2}{3}$）3×（$\frac{1}{3}$）1=$\frac{32}{81}$，
P（ξ=4）=${C}_{4}^{4}$×（$\frac{2}{3}$）4×（$\frac{1}{3}$）0=$\frac{16}{81}$，
则ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P | $\frac{1}{81}$ | $\frac{8}{81}$ | $\frac{8}{81}$ | $\frac{32}{81}$ | $\frac{16}{81}$ |
点评 本题考查了离散型的随机变量的数学期望，分布列的求解，关键是读懂题意，判断概率的类型，准确求解即可．
习题精选系列答案| A． | （-1，+∞） | B． | [-1，+∞） | C． | （-∞，-1） | D． | （-∞，-1] |
已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其中F1，F2为左、右焦点，且离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，直线l与椭圆交于两不同点P（x1，y1），Q（x2，y2）．当直线l过椭圆C右焦点F2且倾斜角为$\frac{π}{4}$时，原点O到直线l的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
如图，已知四棱柱ABD-A1B1C1D1的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，侧棱AA1⊥底面ABCD，E是CD的中点，CD=2AB=2AD，AD=1，AA1=$\sqrt{2}$．
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，D为AC的中点．
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB$\stackrel{∥}{=}$CD，AC、BD交于点O，AB⊥平面PAC，且2PA=2PC=2CD=AD，PE=ED．