Question

（2010•抚州模拟）△ABC的三个顶点A，B，C均在椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上，椭圆右焦点F为△ABC的重心，则|AF|+|BF|+|CF|的值为

9

2

．

Answer 1

分析：本填空题采用取特殊位置的方法求解，设点A是椭圆短轴的上端点，设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）进而根据椭圆方程求得b和c，进而可求得A，F₁的坐标，根据三角形的重心的性质可分别求得x₁+x₂和y₁+y₂，把B，C点代入椭圆方程后两式相减，进而求得直线BC的斜率，设出直线BC的方程，把B，C点坐标代入两式相加求得b，则直线BC方程可得，从而得出B，C的坐标，最后利用两点间的距离公式即可求得．

解答：解：设点A是椭圆短轴的上端点，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
椭圆方程得

x2

4

+

y2

3

=1
∴b=

3

a=2
∴c=1，则A（0，

3

） F（1，0）
∴

0+x1+x2

3

=1，x₁+x₂=3
同理y₁+y₂=-

3

又3（x₁+x₂）+4（y₁+y₂）×k=0
∴k=

3 3

4

，k为BC斜率
令BC直线为：y=

3 3

4

x+m
则：y₁+y₂=

3 3

4

（x₁+x₂）+2m
b=-

13 3

8

∴BC直线为：y=

3 3

4

x-

13 3

8

代入椭圆的方程求得B（2，-

1

5

），C（1，-

3

2

）．
利用两点是的距离公式得：则|AF|+|BF|+|CF|=

9

2

．
故答案为：

9

2

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等，突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．