Question

（本小题满分13分）如图，四面体中，是的中点，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求异面直线与所成角的大小；

（Ⅲ）求二面角的大小．

Answer 1

(Ⅰ)  见解析  (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

（I）证明：．

连接．

，又

              即        平面．

（II）方法1  取的中点，的中点，为的中点，或其补角是与所成的角．∴连接是斜边上的中线，，

．在中，由余弦定理得，∴直线与所成的角为．

（Ⅲ）方法l  平面，过作于，连接,

              是在平面上的射影，由三垂线定理得．

              是二面角的平面角，，又．

在中，，．

∴二面角为．

（II）方法2建立空间直角坐标系．则

．

．∴直线与所成的角为．

（Ⅲ）方法2在坐标系中，平面的法向量．

设平面的法向量，则，

求得，

∴二面角为．