Question

已知正项等比数列{a_n}，a₁=2，又b_n=log₂a_n，且{b_n}的前n项和为T_n，当且仅当n=7时T_n最大，则数列{a_n}的公比q的取值范围是（　　）

• A．2

  1

  7

  ＜p＜2

  1

  6

• B．2-

  1

  6

  ＜q＜2-

  1

  7

• C．q＜2-

  1

  6

  或q＞2-

  1

  7

• D．q＞2

  1

  6

  或q＜2

  1

  7

Answer 1

分析：由b_n+1-b_n=log₂a_n+1-log₂a_n=log2

an+1

an

=log₂q，得出数列{b_n}是以log₂q为公差，以log₂a₁=1为首项的等差数列，由已知仅当n=7时T_n最大，通过解不等式组

b7＞0 b8＜0

，求出公比q的取值范围即可．

解答：解：∵等比数列{a_n}的公比为q，∴b_n+1-b_n=log₂a_n+1-log₂a_n=log2

an+1

an

=log₂q
∴数列{b_n}是以log₂q为公差
 以log₂a₁=1为首项的等差数列，
其通项公式为b_n=1+（n-1）log₂q．
由于当且仅当n=7时T_n最大，所以log₂q＜0，且

b7＞0 b8＜0

解得-

1

6

＜log₂q＜-

1

7

，即2-

1

6

＜q＜2-

1

7

故选B

点评：本题考查了等差数列的判定，前n项和最值情况．本题得出数列{b_n}是以log₂q为公差，以log₂a₁=1为首项的等差数列为关键．