Question

在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0）中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B．若该椭圆的离心率是

5 -1

2

，则∠ABF=

90°

．

Answer 1

分析：由题意得c=

5 -1

2

a，解出b²=a²-c²=

5 -1

2

a²．在△ABF中分别计算出|AB|²、|BF|²和|AF|²，可得AF|²=|AB|²+|BF|²，所以△ABF是以AF为斜边的直角三角形，即∠ABF=90°．

解答：解：∵椭圆的离心率是

5 -1

2

，
∴c=

5 -1

2

a，可得|AF|=c+a=（

5 -1

2

+1）a=

5 +1

2

a．
而b²=a²-c²=

5 -1

2

a²，
∴|AB|²=|AO|²+|OB|²=

5 +1

2

a²．
因为|BF|=

c2+b2

=a，
所以|AB|²+|BF|²=

5 +3

2

a²
∵|AF|²=（

5 +1

2

a）²=

5 +3

2

a²
∴|AF|²=|AB|²+|BF|²．得△ABF是以AF为斜边的直角三角形，即∠ABF=90°．
故答案为：90°．

点评：本题给出特殊离心率的椭圆，求椭圆的上顶点对左焦点、右顶点的张角，着重考查了椭圆的标准方程和简单性质、直角三角形的判定等知识，属于基础题．