Question

已知圆O：x²+y²=1，圆C：（x-4）²+（y-4）²=1，由两圆外一点P（a，b）引两圆切线PA、PB，切点分别为A、B，如图，满足|PA|=|PB|；
（Ⅰ）将两圆方程相减可得一直线方程l：x+y-4=0，该直线叫做这两圆的“根轴”，试证点P落在根轴上；
（Ⅱ）求切线长|PA|的最小值；
（Ⅲ）给出定点M（0，2），设P、Q分别为直线l和圆O上动点，求|MP|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）由|PA|=|PB|，知|PO|²=|PC|²?a²+b²=（a-4）²+（b-4）²，由此能够导出点P（a，b）落在根轴l：x+y-4=0上；
（2）由|PA|²=|PO|²-1=a²+b²-1=a²+（4-a）²-1=2a²-8a+15=2（a-2）²+7，知当a=2时即P为（2，2）点时有．
（3）作M（0，2）关于直线L：x+y=4的对称点N，求得N（2，4），连接NO则NO分别与直线L、圆O的交点即为使|PM|+|PQ|的值最小的点P、Q，由此能够求出P点坐标．
解答：解：（1）|PA|=|PB|?|PO|²=|PC|²?a²+b²=（a-4）²+（b-4）²?a+b-4=0
即点P（a，b）落在根轴l：x+y-4=0上；（3分）
（2）|PA|²=|PO|²-1=a²+b²-1=a²+（4-a）²-1=2a²-8a+15=2（a-2）²+7
∴当a=2时即P为（2，2）点时有（6分）
（3）作M（0，2）关于直线L：x+y=4的对称点N，求得N（2，4），连接NO则NO分别与直线L、圆O的交点即为使|PM|+|PQ|的值最小的点P、Q；（8分）
证明如下：
在L上任取不同于点P的P₁点，连接P₁O交圆O于Q₁，则|P₁M|+|P₁Q₁|=|P₁M|+|P₁O|-1=|P₁N|+|P₁O|-1＞|NO|-1，而|PM|+|PQ|=|PM|+|PO|-1=|PN|+|PO|-1=|NO|-1，故得证；（11分）
下求|PM|+|PQ|的最小值及点P的坐标：
（|PM|+|PQ|）_Min=|NO|-1=，
联立ON与直线L的方程可得．（13分）
点评：本题考查圆的性质和应用，解题时要注意数形结合思想的运用和公式的合理选用．