题目内容

如图:四棱锥中,,,

(Ⅰ)证明: 平面
(Ⅱ)在线段上是否存在一点,使直线与平面成角正弦值等于,若存在,指出点位置,若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)证明:取线段中点,连结
根据边角关系及 得到
因为,且,可得平面
(Ⅱ)点是线段的中点.

试题分析:(Ⅰ)证明:取线段中点,连结

因为所以           1分
因为所以,           2分
又因为,所以,而
所以.          4分
因为,所以 即
因为,且
所以平面          6分
(Ⅱ)解:以为坐标原点,以
所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示:
四点坐标分别为:
       8分
;平面的法向量
因为点在线段上,所以假设,所以 
,所以.        9分
又因为平面的法向量
所以,所以
所以         10分
因为直线与平面成角正弦值等于,所以
所以 即.所以点是线段的中点. 12分
点评:中档题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤。(1)注意转化成了平面几何问题;(2)利用空间向量,省去繁琐的证明,也是解决立体几何问题的一个基本思路。对计算能力要求较高。
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