题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，且以椭圆
的两焦点和短轴的一个端点为顶点的三角形的周长恰为
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）动直线
与抛椭圆相交于
，
两点，问：在
轴上是否存在定点
（其中
，使得向量
与向量
共线（其中
为坐标原点）？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）存在，
.
【解析】
（1）根据椭圆
的焦点三角形的周长为
，再由离心率得出
关系，求出值，即可求出结论；
（2）根据
与
角平分线共线，又与
共线，得到
轴为的角平分线，转化为
的倾斜角互补，斜率和为零，联立直线和椭圆方程，运用根与系数，将斜率和转化为
关系，即可求解.
（1）椭圆
的离心率为
，
即有
，
椭圆的两焦点和短轴的一个端点为顶点的三角形的周长恰为
，
可得
，解得
，
，
则椭圆的方程为；
（2）在轴上假设存在定点
（其中
，
使得与向量共线，
由
，
均为单位向量，且它们的和向量与共线，
可得轴平分，
设
，
，
，
，
联立
和
，
得
，
△
恒成立.
，
①
设直线
、
的斜率分别为
，
，
则由
得，
，
，②
联立①②，得
，
故存在
满足题意，
综上，在轴上存在一点，使得轴平分，
即与向量共线.
【题目】某学校为了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样方法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如下：
分组 |
|
|
|
|
|
|
男生人数 | 2 | 16 | 19 | 18 | 5 | 3 |
女生人数 | 3 | 20 | 10 | 2 | 1 | 1 |
若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”．
（1）将频率视为概率，估计该校4000名学生中“锻炼达人”有多少？
（2）从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动．
①求男生和女生各抽取了多少人？
②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男女各1人的概率．
【题目】近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：
土地使用面积 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
管理时间 | 8 | 10 | 13 | 25 | 24 |
并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:
愿意参与管理 | 不愿意参与管理 | |
男性村民 | 150 | 50 |
女性村民 | 50 |
（1）求出相关系数
的大小，并判断管理时间
与土地使用面积
是否线性相关？
（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？
（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为,求的分布列及数学期望。
参考公式：
其中
。临界值表：
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
参考数据：
