Question

【题目】已知函数 (为自然对数的底数， ).

(1)求的单调区间和极值；

(2)求证：当，且时， .

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，列出变化表，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）问题等价于, 设, 根据函数的单调性证明即可．

试题解析：

（1）解　由f(x)＝ex－3x＋3a，x∈R知f′(x)＝ex－3，x∈R.

令f′(x)＝0，得x＝ln 3，

于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.

x	(－∞，ln 3)	ln 3	(ln 3，＋∞)
f′(x)	－	0	＋
f(x)		3(1－ln 3＋a)

故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 3]，

单调递增区间是[ln3，＋∞)，

f(x)在x＝ln 3处取得极小值，极小值为f(ln 3)＝eln3－3ln 3＋3a＝3(1－ln 3＋a)．

（2）证明:待证不等式等价于

设，x∈R，

于是，x∈R.

由（I）及知： 的最小值为g′(ln 3)＝3(1－ln 3＋a)＞0.

于是对任意x∈R，都有＞0，所以g(x)在R内单调递增．

于是当时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)＞g(0)．

而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)＞0.

即，故.