Question

已知函数
⑴当时，若函数存在零点，求实数的取值范围并讨论零点个数；
⑵当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.

Answer 1

⑴实数a的取值范围是.当时，2个零点；当或，1个零点.
⑵实数m的取值范围是

解析试题分析：⑴可将看作一个整体，令，
所以问题转化为一个二次函数的问题，结合二次函数的图象即可得解.
⑵当时，由此可得：，记.
对，则分和两种情况，求出在上的范围，这个范围为集合.因为对任意的，总存在，使成立，所以，由此可得一不等式组，解这个不等式组即可得的取值范围.
试题解析：⑴令，
函数图象的对称轴为直线，要使在上有零点，
则即
所以所求实数a的取值范围是.   3分
当时，2个零点；当或，1个零点     7分
⑵当时，
所以当时，，记.
由题意，知，当时，在上是增函数，
，记.
由题意，知
解得    9分
当时，在上是减函数，
，记.
由题意，知
解得    11分
综上所述，实数m的取值范围是  ..12分
考点：1、函数的零点；2、函数的最值；3、不等关系.