题目内容

已知△ABC的三内角的大小成等差数列，tgAtgC= $数学公式$ 求角A，B，C的大小，又已知顶点C的对边c上的高等于 $数学公式$ ，求三角形各边a，b，c的长．（提示：必要时可验证 $数学公式$ ）

解：A+B+C=180°又2B=A+C．∴B=60°，A+C=120°
∵ $\text{[math]}$
而tgA+tgC=（1-tgAtgC）tg（A+C）= $\text{[math]}$ ．（2）
由（1）（2）可知tgA，tgC是 $\text{[math]}$ =0的两根．解这方程得：
x₁=1，x₂=2+ $\text{[math]}$ 设A＜C，则得tgA=1，tgC=2+ $\text{[math]}$ ．
∴A=45°，C=120°-45°=75°又知c上的高等于4 $\text{[math]}$ ，
∴a= $\text{[math]}$ =8；b= $\text{[math]}$ ；
c=AD+DB=bcos45°+acos60°=4 $\text{[math]}$ ．
分析：△ABC的三内角的大小成等差数列，求出B=60°，A+C=120°，利用两角和的正切，求出tgA+tgC，然后求出tgA，tgC，求出A，C的值，利用任意角的三角函数求出a，b，c．
点评：本题考查同角三角函数基本关系的运用，等差数列的性质，三角形中的几何计算，考查计算能力，是中档题．