Question

已知函数f（x）的定义域为R，对于任意实数x都有f（x+2）=f（x）且f（-x）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=x²．若在区间[-1，3]内，g（x）=f（x）+mx+m有且只有4个零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A．[-

  1

  4

  ，0)
• B．(-

  1

  4

  ，0)
• C．(0，

  1

  4

  ]
• D．(0，

  1

  4

  )

Answer 1

分析：由题意可得，函数f（x）是偶函数，且是周期为2的周期函数，在区间[-1，3]内，函数y=f（x）的图象和直线y=-m（x+1）有且只有4个交点，数形结合求得
m的范围．

解答：解：由题意可得，函数f（x）是偶函数，且是周期为2的周期函数，
在区间[-1，3]内，函数y=f（x）的图象和直线y=-m（x+1）有且只有4个交点．
∵当x∈[0，1]时，f（x）=x² ，故当x∈[-1，0]时，f（x）=x² ．
再根据直线y=-m（x+1）过定点（-1，0），
如图所示：
数形结合可得，0＜-m（3+1）≤1，解得-

1

4

≤m＜0，
故选A．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和周期性，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．