题目内容

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点(0,0),其导函数f'(x)=2x+1,当x∈[n,n+1](其中n∈N*)时,f(x)为整数的个数记为an
(1)求a,b,c的值;
(2)求a1及数列{an}的通项公式;
(3)令bn=
1
anan+1
,记{bn}的前n项和为Sn,求证:Sn
1
10
分析:(1)先根据f(0)=0求得c,进而对函数f(x)的解析式求导,进而求得b和a.
(2)先根据题意可知an=(n+1)(n+2)-n(n+1)+1进而求得 an+1两式相减可推断数列{an}是等差数列,进而根据等差数列的通项公式求得答案.
(3)把(2)中求得的an代入bn,进而利用裂项法求和进行放缩即得.
解答:解:(1)∵f(0)=c=0
∴c=0,
f′(x)=2ax+b=2x+1
∴a=1,b=1
(2)当x∈[n,n+1](其中n∈N*)时,f(x)为整数的个数记为an
∴a1=5,
∵f(x)在x∈[n,n+1]上单调递增,
∴an=f(n+1)-f(n)+1=2n+3.
(3)bn=
1
anan+1
=
1
2
1
2n+3
-
1
2n+5
),
{bn}的前n项和 Sn=
1
2
1
5
-
1
7
+
1
7
-
1
9
+…+
1
2n+3
-
1
2n+5
)=
1
2
1
5
-
1
2n+5
1
10
点评:本题主要考查了等差数列的性质和用裂项法数列求和.高考中数列题往往与不等式、函数等知识综合考查,属于中档题.
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