题目内容
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点(0,0),其导函数f'(x)=2x+1,当x∈[n,n+1](其中n∈N*)时,f(x)为整数的个数记为an.
(1)求a,b,c的值;
(2)求a1及数列{an}的通项公式;
(3)令bn=
,记{bn}的前n项和为Sn,求证:Sn<
.
(1)求a,b,c的值;
(2)求a1及数列{an}的通项公式;
(3)令bn=
1 |
an•an+1 |
1 |
10 |
分析:(1)先根据f(0)=0求得c,进而对函数f(x)的解析式求导,进而求得b和a.
(2)先根据题意可知an=(n+1)(n+2)-n(n+1)+1进而求得 an+1两式相减可推断数列{an}是等差数列,进而根据等差数列的通项公式求得答案.
(3)把(2)中求得的an代入bn,进而利用裂项法求和进行放缩即得.
(2)先根据题意可知an=(n+1)(n+2)-n(n+1)+1进而求得 an+1两式相减可推断数列{an}是等差数列,进而根据等差数列的通项公式求得答案.
(3)把(2)中求得的an代入bn,进而利用裂项法求和进行放缩即得.
解答:解:(1)∵f(0)=c=0
∴c=0,
f′(x)=2ax+b=2x+1
∴a=1,b=1
(2)当x∈[n,n+1](其中n∈N*)时,f(x)为整数的个数记为an.
∴a1=5,
∵f(x)在x∈[n,n+1]上单调递增,
∴an=f(n+1)-f(n)+1=2n+3.
(3)bn=
=
(
-
),
{bn}的前n项和 Sn=
(
-
+
-
+…+
-
)=
(
-
)<
.
∴c=0,
f′(x)=2ax+b=2x+1
∴a=1,b=1
(2)当x∈[n,n+1](其中n∈N*)时,f(x)为整数的个数记为an.
∴a1=5,
∵f(x)在x∈[n,n+1]上单调递增,
∴an=f(n+1)-f(n)+1=2n+3.
(3)bn=
1 |
anan+1 |
1 |
2 |
1 |
2n+3 |
1 |
2n+5 |
{bn}的前n项和 Sn=
1 |
2 |
1 |
5 |
1 |
7 |
1 |
7 |
1 |
9 |
1 |
2n+3 |
1 |
2n+5 |
1 |
2 |
1 |
5 |
1 |
2n+5 |
1 |
10 |
点评:本题主要考查了等差数列的性质和用裂项法数列求和.高考中数列题往往与不等式、函数等知识综合考查,属于中档题.

练习册系列答案
相关题目