题目内容
【题目】命题 :关于 的不等式 对一切 恒成立,命题 :指数函数 是增函数,若 或 为真、 且 为假,求实数 的取值范围.
【答案】①对于命题p:关于x的不等式 对于一切x∈R恒成立,∴ ,解得-2<a<2.
②对于命题q:函数 是增函数,∴3-2a>1,解得a<1.
当p为真,且q为假时, ,解得1≤a<2.
当p为假,且q为真时, ,解得 ,
综上实数a的取值范围
故a的取值范围是[1,2).
【解析】根据题意结合二次函数的性质求出命题p中的满足题意的a的取值范围,即可得到使命题p为假命题的a的取值范围。再根据指数函数的单调性可以求出a的取值范围,由题意可得到命题q为真命题的a取值范围,然后借助复合命题的真假利用交集的运算即可求解。
【考点精析】关于本题考查的复合命题的真假和二次函数的性质,需要了解“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反;“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真,其他情况时为假;“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假,其他情况时为真;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小才能得出正确答案.