题目内容

5.对于任意a,b∈R,存在λ∈R,使a2+mb2>λb(a+b)成立,则实数m的取值范围是[-1,+∞).

分析 由已知可得a2-λba-(λ-m)b2≥0,结合二次不等式的性质可得△=λ2+4(λ-m)=λ2+4λ-4m≤0,又存在λ∈R成立,△≥0可求

解答 解:∵a2+mb2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成
∴a2+mb2-λb(a+b)≥0对于任意的a,b∈R恒成
即a2-(λb)a+(m-λ)b2≥0恒成立,
由二次不等式的性质可得,△=λ2+4(λ-m)=λ2+4λ-4m≤0
又∵存在λ∈R使得上述不等式恒成立,
∴△=16+16m≥0,解得m≥-1,
故答案为:[-1,+∞).

点评 本题主要考查了二次不等式的恒成立问题的求解,解题的关键是灵活利用二次函数的性质,本题难在对“存在λ∈R成立“的处理.

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