题目内容

已知a＞0，设p：实数x满足（x-a）（x-3a）＜0，q：实数x满足
x-32-x
≥0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围是
 
．
分析：结合不等式的解法，求出p，q成立的等价条件，利用p是q的必要不充分条件，即可求实数a的取值范围．
解答：解：若p为真，则（x-a）（x-3a）＜0，解得a＜x＜3a，（a＞0），
若q为真，由
x-3
2-x
≥0当（x-3）（x-2）≤0，且2-x≠0，解得2＜x≤3．
∵p是q的必要不充分条件，
则
0＜a≤2
3a＞3
，
即
0＜a≤2
a＞1
，
∴1＜a≤2，
故答案为：1＜a≤2．
点评：本题主要考查不等式的解法以及充分条件和必要条件的应用，根据条件求出p，q成立的等价条件是解决本题 的关键．
练习册系列答案
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已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2-4bx+2．
（1）设集合P={1，2，3}，Q={-1，1，2，3，4}，从集合P中随机取一个数作为a，从集合Q中随机取一个数作为b，求方程f（x）=0有两相等实根的概率；
（2）设点（a，b）是区域
x+y-8≤0
x＞0
y＞0
内的随机点，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
已知点P（x0，y0）是渐近线为2x±3y=0且经过定点（6，2
3
）的双曲线C1上的一动点，点Q是P关于双曲线C1实轴A1A2的对称点，设直线PA1与QA2的交点为M（x，y），
（1）求双曲线C1的方程；
（2）求动点M的轨迹C2的方程；
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已知函数f(x)=ax+
2
x
+6，其中a为实常数．
（1）若f（x）＞3x在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（2）已知a=
3
4
，P1，P2是函数f（x）图象上两点，若在点P1，P2处的两条切线相互平行，求这两条切线间距离的最大值；
（3）设定义在区间D上的函数y=s（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=t（x），当x≠x0时，若
s(x)-t(x)
x-x0
＞0在D上恒成立，则称点P为函数y=s（x）的“好点”．试问函数g（x）=x2f（x）是否存在“好点”．若存在，请求出所有“好点”坐标，若不存在，请说明理由．
已知a＞0且a≠1．设命题p：函数y=ax是定义在R上的增函数；命题q：关于x的方程x2+ax+1=0有两个不等的负实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．
已知向量
p
=(a-3，x)，
q
=(x+a，x)，f(x)=
p
•
q
，且m，n是方程f（x）=0的两个实根，
（1）设g（a）=m3+n3+a3，求g（a）的最小值；
（2）若不等式lnx-
b
x
＜x2在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围；
（3）对于（1）中的函数y=g（a），给定函数h（x）=c（xlnx-x3），（c＜0），若对任意的x0∈[2，3]，总存在x1∈[1，2]，使得g（x0）=h（x1），求实数c的取值范围．

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