Question

【题目】设函数，其中，，为常数．

（1）若，，试讨论函数的单调区间；

（2）若函数在上单调递增，且，证明：，并求的最小值（用，的代数式表示）．

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】

试题分析：

(1)函数的定义域为，求导可得．据此分类讨论：

若，，在上单调递增；

若，，在上单调递减；

若，，在上单调递减，在上单调递增；

若，，在上单调递增，在上单调递减；

(2)函数在上单调递增，则对任意实数均成立，

取实数，，有，据此讨论可得．

证明问题来说明c的最小值为：

构造函数，，可证明，则恒成立，据此可得成立．

试题解析：

（1）解：依题意得的定义域为，当时，．

若，，则，从而在上单调递增；

若，，则，从而在上单调递减；

若，，令，得，列表如下：

		极小值

若，，令得，列表如下：

		极大值

（2）证明：函数在上单调递增，则对任意实数均成立，

取实数，，则两式相加得：，

令，则，从而．

又由，当时，，若，则不恒成立，又，从而，从而．

下证．

记，，，由于，

在点处的切线方程为：．

接下来，我们证明，

构造函数，．

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

从而，故成立．

考虑到直线与直线斜率相等，即它们平行，

又由于恒成立，从而恒成立，

即，即．