题目内容

A、选修4-1:几何证明选讲 
如图,PA与⊙O相切于点A,D为PA的中点,
过点D引割线交⊙O于B,C两点,求证:∠DPB=∠DCP.
B.选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵的一个特征值为3,求另一个特征值及其对应的一个特征向量.
C.选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,圆C的方程为,以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数),判断直线l和圆C的位置关系.
D.选修4-5:不等式选讲
求函数的最大值.

【答案】分析:A 由切割线定理得到 DP2=DA2=DB•DC,即.  因为∠BDP=∠PDC,可得△BDP∽△PDC,从而,∠DPB=∠DCP.
B 写出矩阵M的特征多项式 f(λ),由λ1=3方程f(λ)=0的一根,令x=1 得特征值 λ2=-1,求出它对应的特征向量.
C把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程,求出圆心到直线的距离小于半径,故直线l和⊙C相交.
=()•(1,),由||≤ 求得函数的最大值.
解答:解:A.因为PA与圆相切于A,所以,DA2=DB•DC,因为D为PA中点,所以,DP=DA,
所以,DP2=DB•DC,即.  因为∠BDP=∠PDC,所以,△BDP∽△PDC,
所以,∠DPB=∠DCP.
B.矩阵M的特征多项式为=(λ-1)(λ-x)-4
因为λ1=3方程f(λ)=0的一根,所以x=1,
由(λ-1)(λ-1)-4=0得λ2=-1,
设λ2=-1对应的一个特征向量为
得 x=-y,令x=1,则y=-1,
所以矩阵M的另一个特征值为-1,对应的一个特征向量为
C.消去参数t,得直线l的直角坐标方程为y=2x+1;即ρ=2(sinθ+cosθ),
两边同乘以ρ得ρ2=2(ρsinθ+ρcosθ),得⊙C的直角坐标方程为:(x-1)2+(x-1)2=2,
圆心C到直线l的距离,所以,直线l和⊙C相交.
D.因为=()•(1,),由||≤ 求得
∴y的最大值为3,
当且仅当两个向量共线时,即时取“=”号,即当x=0时,ymax=3.
点评:本题考查简单曲线的极坐标方程,把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,直线和圆的位置关系的判定,矩阵的特征值与特征向量的定义.体现了数形结合及转化的数学思想.
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