Question

已知△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0，∠A的角平分线所在的直线方程为y=0，点C的坐标为（1，2）．
（Ⅰ）求点A和点B的坐标；
（Ⅱ）又过点C作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点M，N，求△MON的面积最小值及此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）列方程组

x-2y+1=0 y=0

求出A点坐标，根据两直线垂直的条件求出BC、AB所在的直线方程，然后解方程组

x+y+1=0 2x+y-4=0

得B的坐标；
（II）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率根据直线过的C点，写出直线方程，求出△AOB面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．

解答：解：（Ⅰ）因为点A在BC边上的高x-2y+1=0上，又在∠A的角平分线y=0上，所以解方程组

x-2y+1=0 y=0

得A（-1，0）．
∵BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0，
∴k_BC=-2，
∵点C的坐标为（1，2），所以直线BC的方程为2x+y-4=0，
∵k_AC=-1，∴k_AB=-k_AC=1，所以直线AB的方程为x+y+1=0，
解方程组

x+y+1=0 2x+y-4=0

得B（5，-6），
故点A和点B的坐标分别为（-1，0），（5，-6）．    
（Ⅱ）依题意直线的斜率存在，设直线l的方程为：y-2=k（x-1）（k＜0），则M(

k-2

k

，0)，N(0，2-k)，所以S△MON=

1

2

•

k-2

k

•(2-k)=

1

2

(4-k-

4

k

)≥

1

2

[4+2

- 1 k •(-4k)

]=4，
当且仅当k=-2时取等号，所以（S_△AOB）_min=4，此时直线l的方程是2x+y-4=0．

点评：本题是中档题，考查三角形面积的最小值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想的应用．