Question

已知△ABC中，BC=2，AB=

2

AC，则三角形面积的最大值为

2

2

．

Answer 1

分析：设AC=x，则AB=

2

x，根据面积公式得S_△ABC=x

1-cos2C

，由余弦定理求得 cosC代入化简 S_△ABC=

128-(x2-12)2 16

，由三角形三边关系求得 2

2

-2＜x＜2

2

+2，
由二次函数的性质求得S_△ABC取得最大值．

解答：解：设AC=x，则AB=

2

x，根据面积公式得S_△ABC=

1

2

AC•BC•sinC=x•sinC=x

1-cos2C

．
由余弦定理可得 cosC=

4-x2

4x

，
∴S_△ABC=x

1-cos2C

=x

1-( 4-x2 4x )2

=

128-(x2-12)2 16

．
由三角形三边关系有

2 x+x＞2 x+2＞ 2 x

，解得 2

2

-2＜x＜2

2

+2，
故当 x=2

3

时，S_△ABC取得最大值2

2

，
故答案为 2

2

．

点评：本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题．