Question

【题目】某企业为打入国际市场，决定从A，B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：（单位：万美元）

	年固定成本	每件产品成本	每件产品销售价	每年最多可生产的件数
A产品	20	m	10	200
B产品	40	8	18	120

其中年固定成本与年生产的件数无关，m是待定常数，其值由生产A产品的原材料决定，预计m∈[6，8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．
（1）求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1 ， y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系，并求出其定义域；
（2）如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案．

Answer 1

【答案】
（1）解：y1=10x﹣（20+mx）=（10﹣m）x﹣20，0＜x≤200，且x∈N

y2=18x﹣（8x+40）﹣0.05x2=﹣0.05x2+10x﹣40，0＜x≤120且x∈N

（2）解：∵6≤m≤8

∴10﹣m＞0

∴y1=（10﹣m）x﹣20为增函数

又0≤x≤200，x∈N

∴x=200时，生产A产品有最大利润（10﹣m）×200﹣20=1980﹣200m（万美元）

y2=﹣0.05x2+10x﹣40=﹣0.05（x﹣100）2+4600≤x≤120，x∈N

∴x=100时，生产B产品有最大利润460（万美元）

（y1）max﹣（y2）max

=1980﹣200m﹣460

=1520﹣200m

当6≤m＜7.6时，（y1）max﹣（y2）max＞0

当m=7.6时，（y1）max﹣（y2）max=0

当7.6＜m≤8时，（y1）max﹣（y2）max＜0

∴当6≤m＜7.6投资A产品200件可获得最大利润

当7.6＜m≤8投资B产品100件可获得最大利润

m=7.6生产A产品与B产品均可获得最大年利润

【解析】（1）利润=年销售收入﹣固定成本﹣产品成本﹣特别关税，可求得该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1 ， y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系和定义域；（2）作差法比较年利润y1 ， y2的大小，设确定计相关方案．