Question

（2010•天津模拟）已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=a（S_n-a_n+1）（a为常数，且a≠0，a≠1）．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n²+S_n•a_n，若数列{b_n}为等比数列，求a的值；
（Ⅲ）设c_n=log_aa_2n-1，求数列{a_2n•c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）由S_n=a（S_n-a_n+1）可得S_n-1=a（S_n-1-a_n-1+1）（n≥2），利用递推公式a_n=S_n-S_n-1可得数列是等比数列，根据等比数列的通项公式可求
（II）由（I）可求a_n，S_n代入可求b_n的通项，然后由数列b_n为等比数列 可得b₂²=b₁b₃，从而可求a
（III）由C_n=log_aa_2n-1=2n-1可得a_2n•C_n=（2n-1）•a²ⁿ，则T_n=a²+3a⁴+…+（2n-1）a²ⁿ，考虑利用错位相减可求和

解答：解：（I）∵S_n=a（S_n-a_n+1）
∴S_n-1=a（S_n-1-a_n-1+1）（n≥2）
两式相减可得，S_n-S_n-1=a（S_n-a_n+1-S_n-1+a_n-1-1）（n≥2）
即a_n=a[（S_n-S_n-1）-a_n+a_n-1]=a•a_n-1
∴

an

an-1

=a（n≥2）
∵S₁=a（s₁-a₁+1）
∴a₁=a
∴数列{a_n}是以a为首项以a为公比的等比数列
∴a_n=aⁿ
（II）∵S_n=a（S_n-aⁿ+1）
∴S_n=a×

1-an

1-a

∴b_n=a_n²+S_n•a_n=an(an+

a(1-an)

1-a

）
∵b_n为等比数列∴b₂²=b₁b₃
∴a4[a2+

a(1-a2)

1-a

] 2=2a²•a³[a3+

a(1-a3)

1-a

]
∵a≠0，a≠1
解可得a=

1

2

（III）∵C_n=log_aa_2n-1=2n-1，a_2n•C_n=（2n-1）•a²ⁿ
∴T_n=a²+3a⁴+…+（2n-1）a²ⁿ
a²T_n=a⁴+3a⁶+…+（2n-3）a²ⁿ+（2n-1）•a²ⁿ⁺²
两式相减可得，（1-a²）T_n=a²+2（a⁴+a⁶+…+a²ⁿ）-（2n-1）•a²ⁿ⁺²
=a2+

2a4(1-a2n-2)

1-a2

-(2n-1)•a2n+2

∴T_n=

a2(1+a2)-(2n+1)•a2n+2+(2n+1)•a2n+4

(1-a2) 2

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，等比数列的通项公式及的定义的应用，及数列求和的错位相减求和，本题的计算量比较大，对考生的计算能力具有一定的要求