题目内容
16.已知函数f(x)=a-$\frac{1}{{{2^x}+1}}$,(1)若a=1,求f(0)的值;
(2)探究f(x)的单调性,并证明你的结论;
(3)若函数f(x)为奇函数,判断|f(ax)|与f(2)的大小.
分析 (1)直接代入即可获得解答;
(2)根据函数单调性的定义,首先应在所给区间上任设两个数并规定大小,然后通过作差法分析获得两数对应函数值之间的大小关系即可;
(3)充分利用好函数的奇偶性,即可求的a的值,通过讨论x的范围,判断出|f(x)|、f(2)的大小关系.
解答 解:(1)a=1时:f(0)=1-$\frac{1}{{2}^{0}+1}$=$\frac{1}{2}$;
(2)∵f(x)的定义域为R∴任取x1x2∈R且x1<x2
则f(x1)-f(x2)=a-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-a+$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{{2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}}{{(2}^{{x}_{1}}+1){(2}^{{x}_{2}}+1)}$.
∵y=2x在R是单调递增且x1<x2
∴0<2x1<2x2,∴2x1-2x2<0,
2x1+1>0,2x2+1>0,
∴f(x1)-f(x2)<0
即f(x1)<f(x2),
∴f(x)在R上单调递增.
(3)∵f(x)是奇函数∴f(-x)=-f(x),
即a-$\frac{1}{{2}^{-x}+1}$=-a+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$,
解得:a=1.
∴f(ax)=f(x)
又∵f(x)在R上单调递增
∴x>2或x<-2时:|f(x)|>f(2),
x=±2时:|f(x)|=f(2),
-2<x<2时:|f(x)|<f(2).
点评 本题考查的是函数单调性、奇偶性等知识的综合问题.在解答的过程当中充分体现了计算的能力、单调性定义的应用以及问题转化的能力.值得同学们体会和反思.
练习册系列答案
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