Question

5．已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x-y-2=0的距离为$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设点P（x₀，y₀）为直线l上一定点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，求直线AB的方程，并证明直线AB过定点Q．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得$\frac{|0-c-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，由此能求出抛物线C的方程．
（Ⅱ）设P（x₀，x₀-2），设切点为（x，$\frac{{x}^{2}}{4}$），曲线C：y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，y′=$\frac{x}{2}$，从而x²-2x₀x+4x₀-8=0，由此能求出直线AB为x₀x-2y-2y₀=0，并能证明直线AB过定点Q（2，2）．

解答 解：（Ⅰ）∵抛物线C的焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x-y-2=0的距离为$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\frac{|0-c-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
解得c=1或c=-5，（舍），
∴抛物线C的方程为x²=4y．
（Ⅱ）设P（x₀，x₀-2），设切点为（x，$\frac{{x}^{2}}{4}$），曲线C：y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，y′=$\frac{x}{2}$，
则切线的斜率为$\frac{\frac{{x}^{2}}{4}-（{x}_{0}-2）}{x-{x}_{0}}$=y′=$\frac{x}{2}$，
化简，得x²-2x₀x+4x₀-8=0，
设A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），则x₁，x₂是以上方程的两根，
∴x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=4x₀-8，
k_AB=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$=$\frac{{x}_{0}}{2}$，
直线AB为：y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{0}}{2}$（x-x₁），
化简，得：x₀x-2y-2y₀=0，定点Q（2，2）．

点评 本题考查抛物线C的方程的求法，考查直线AB的方程的求法，考查直线AB过定点Q的证明，属于中档题．