题目内容
【题目】设函数,
(
).
(1)求函数的单调增区间;
(2)当时,记
,是否存在整数
,使得关于
的不等式
有解?若存在,请求出
的最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)当时,
的单调增区间为
;
时,
的单调增区间为
;(2)0.
【解析】试题分析:(Ⅰ)先求函数的导函数,原函数的单调增区间即为使导函数大于零的区间,根据导函数分段讨论 的不同取值范围时的单调增区间即可.
(Ⅱ)单调递增,存在唯一
,使得
,即
,当
时,
,当
时,
,所以
求得
的范围,得到
的范围,得到
最小整数值.
试题解析:(1)(
)
①当时,由
,解得
;
②当时,由
,解得
;
③当时,由
,解得
;
综上所述,
当时,
的单调增区间为
;
时,
的单调增区间为
.
(2)当时,
,
,
,
所以单调递增,
,
,
所以存在唯一,使得
,即
,
当时,
,当
时,
,
所以
,
记函数,则
在
上单调递增,
所以,即
,
由,且
为整数,得
,
所以存在整数满足题意,且
的最小值为0.
点晴:本题主要考查导数的单调性,导数与极值点、不等式等知识. 解答此类问题,应该首先确定函数的定义域,否则,写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化:(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题,要注意分类讨论和数形结合思想的应用.(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理.
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【题目】某学校的特长班有50名学生,其中有体育生20名,艺术生30名,在学校组织的一次体检中,该班所有学生进行了心率测试,心率全部介于50次/分到75次/分之间,现将数据分成五组,第一组,第二组
,…,第五组
,按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右的前三组的频率之比为
.
(Ⅰ)求的值,并求这50名同学心率的平均值;
(Ⅱ)因为学习专业的原因,体育生常年进行系统的身体锻炼,艺术生则很少进行系统的身体锻炼,若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名,该学生是体育生的概率为0.8,请将下面的列联表补充完整,并判断是否有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关?说明你的理由.
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式: ,其中
心率小于60次/分 | 心率不小于60次/分 | 合计 | |
体育生 | 20 | ||
艺术生 | 30 | ||
合计 | 50 |