题目内容
(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
已知函数.
(1) 试说明函数的图像是由函数的图像经过怎样的变换得到的;
(2) (理科)若函数,试判断函数的奇偶性,并用反证法证明函数的最小正周期是;
(3) 求函数的单调区间和值域.
【答案】
解(1)∵
,
∴.
∴函数的图像可由的图像按如下方式变换得到:
①将函数的图像向右平移个单位,得到函数的图像;
②将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图像;
③将函数的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到函数的图像.
(2)(理科)由(1)知,,
∴.
又对任意,有,
∴函数是偶函数.
∵,
∴是周期函数,是它的一个周期.
现用反证法证明是函数的最小正周期。
反证法:假设不是函数的最小正周期,设是的最小正周期.
则,即.
令,得,两边平方后化简,得,这与()矛盾.因此,假设不成立.
所以,函数的最小正周期是.
(3)(理科)先求函数在一个周期内的单调区间和函数值的取值范围。
当时,,且.
易知,此时函数的单调增区间是,单调减区间是;
函数的取值范围是.
因此,依据周期函数的性质,可知函数的单调增区间是
;单调减区间是;
函数的值域是.
【解析】横坐标先放缩,再平移也可.即将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数,再将函数的图像向右平移个单位,得到函数的图像,最后将函数的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到函数的图像.
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