题目内容

(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.

已知函数

(1) 试说明函数的图像是由函数的图像经过怎样的变换得到的;

(2) (理科)若函数,试判断函数的奇偶性,并用反证法证明函数的最小正周期是

 (3) 求函数的单调区间和值域.

 

【答案】

解(1)∵

,     

∴函数的图像可由的图像按如下方式变换得到:

①将函数的图像向右平移个单位,得到函数的图像;

②将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图像;

③将函数的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到函数的图像.

(2)(理科)由(1)知,

 ∴

  又对任意,有

 ∴函数是偶函数.

 ∵

是周期函数,是它的一个周期.

现用反证法证明是函数的最小正周期。

反证法:假设不是函数的最小正周期,设的最小正周期.

,即

,得,两边平方后化简,得,这与()矛盾.因此,假设不成立.

所以,函数的最小正周期是

 (3)(理科)先求函数在一个周期内的单调区间和函数值的取值范围。

时,,且

易知,此时函数的单调增区间是,单调减区间是

函数的取值范围是

因此,依据周期函数的性质,可知函数的单调增区间是

;单调减区间是

函数的值域是

【解析】横坐标先放缩,再平移也可.即将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数,再将函数的图像向右平移个单位,得到函数的图像,最后将函数的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到函数的图像.

 

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