题目内容

若不存在整数x使不等式（kx-k²-4）（x-4）＜0成立，则实数k的取值范围是________．

1≤k≤4
分析：设原不等式的解集为A，然后分k大于0且不等于2，k等于2，小于0和等于0四种情况考虑，当k等于0时，代入不等式得到关于x的一元一次不等式，求出不等式的解集即为原不等式的解集；当k大于0且k不等于2时，不等式两边除以k把不等式变形后，根据基本不等式判断 $\text{[math]}$ 与4的大小即可得到原不等式的解集；当k等于2时，代入不等式，根据完全平方式大于0，得到x不等于4，进而得到原不等式的解集；当k小于0时，不等式两边都除以k把不等式变形后，根据 $\text{[math]}$ 小于4，得到原不等式的解集，综上，得到原不等式的解集；
解答：设原不等式的解集为A，
当k=0时，则x＞4，不合题意，
当k＞0且k≠2时，原不等式化为[x-（ $\text{[math]}$ ）]（x-4）＞0，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，要使不存在整数x使不等式（kx-k²-4）（x-4）＜0成立，
须 $\text{[math]}$ ，解得：1≤k≤4；
当k=2时，A=（0，4），不合题意，
当k＜0时，原不等式化为[x-（ $\text{[math]}$ ）]（x-4）＞0，
∴A=（-∞， $\text{[math]}$ ）∪（4，+∞），不合题意，
故答案为：1≤k≤4．
点评：此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，同时考查了运算能力，是一道中档题．