Question

下列命题：
①若f（x）存在导函数，则f′（2x）=[f（2x）]′；
②若函数h（x）=cos⁴x-sin⁴x，则h′（

π

12

）=0；
③若函数g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2012）（x-2013），则g′（2013）=2012!；
④若三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，则“a+b+c=0”是“f（x）有极值点”的充要条件；
⑤函数f（x）=

sinx

2+cosx

的单调递增区间是（2π-

2π

3

，2kπ+

2π

3

）（k∈z）．
其中真命题为

③⑤

．

Answer 1

分析：分别利用导数的运算以及导数的应用进行判断即可．

解答：解：①[f（2x）]′=f′（2x）（2x）′=2f′（2x），所以①错误．
②因为h（x）=cos⁴x-sin⁴x=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）=cos2x，
所以h'（x）=-2sin2x，即h′（

π

12

）=-1，所以②错误．
③因为g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2012）（x-2013），
所以g'（x）=[（x-1）（x-2）…（x-2012）]+（x-2013）?[（x-1）（x-2）…（x-2012）]'
所以g'（2013）=（2013-1）（2013-2）…（2013-2012）=1×2×…×2012=2012!，所以③正确．
④三次函数的导数f′（x）=3ax²+2bx+c，要使f（x）有极值点，则f′（x）=3ax²+2bx+c=0有两个不等的实根，即△=b²-3ac＞0，当a=b=c=0时，△=0，不成立，所以④错误．
⑤函数的导数为f′(x)=

cosx(2+cosx)-sinx(-sinx)

(2+cosx)2

=

1+2cosx

(2+cosx)2

，由f′（x）＞0，得1+2cosx＞0，即cosx＞-

1

2

，2kπ-

2π

3

  ＜x＜2kπ+

2π

3

 ，k∈Z，
即函数的单调递增区间为（2π-

2π

3

，2kπ+

2π

3

）（k∈z），所以⑤正确．
故答案为：③⑤

点评：本题主要考查导数的运算以及导数的应用，比较综合．