题目内容

1.在数列{an}中,a1=2,an=2an-1+2n+1(n≥2),则an=(2n-1)•2n

分析 通过将等式an=2an-1+2n+1(n≥2)两边同时除以2n、整理可得数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1为首项、2为公差的等差数列,进而计算可得结论.

解答 解:∵an=2an-1+2n+1(n≥2),
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2{a}_{n-1}}{{2}^{n}}$+$\frac{{2}^{n+1}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+2,
又∵$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=1,
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1为首项、2为公差的等差数列,
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+2(n-1)=2n-1,
∴an=(2n-1)•2n
故答案为:(2n-1)•2n

点评 本题考查数列的通项,注意解题方法的积累,属于中档题.

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