题目内容
已知a，b为两个正数，且a>b，设
，当n≥2，n∈N*时，
。
（1）求证：数列{an}是递减数列，数列{bn}是递增数列；
（2）求证：an+1-bn+1＜
；
（3）是否存在常数C>0，使得对任意n∈N*，有|an-bn|>C，若存在，求出C的取值范围；若不存在，试说明理由。
解：（1）证明：易知对任意n∈N*，an>0，bn>0
由a≠b，可知
，即a1>b1
同理，
，即a2>b2
可知对任意n∈N*，an>bn
所以数列{an}是递减数列
所以数列{bn}是递增数列。
（2）证明：
。
（3）由
可得
若存在常数C>0，使得对任意n∈N*，有|an-bn|>C，
则对任意n∈N*，
即
对任意n∈N*成立，
即
对任意n∈N*成立，
设[x]表示不超过x的最大整数，
则有
即当
时，
与
对任意n∈N*成立矛盾
所以，不存在常数C>0，使得对任意n∈N*，有|an-bn|>C。
由a≠b，可知
，即a1>b1同理，
，即a2>b2可知对任意n∈N*，an>bn
所以数列{an}是递减数列
所以数列{bn}是递增数列。
（2）证明：
。（3）由
可得
若存在常数C>0，使得对任意n∈N*，有|an-bn|>C，
则对任意n∈N*，
即
对任意n∈N*成立，即
对任意n∈N*成立，设[x]表示不超过x的最大整数，
则有
即当
时，与
对任意n∈N*成立矛盾所以，不存在常数C>0，使得对任意n∈N*，有|an-bn|>C。
练习册系列答案
相关题目
|=2c,C为动点且满足|
|=2a(a＞c＞0,a、c为常数)，D为AC中点，P在边BC上且
·
=0. 
，求∠APC的取值范围.
，b1=
，当n≥2，n∈N*时，an=
，bn=
．
（an-bn）；