Question

20．某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20（$\sqrt{3}$+1）n mile的海面上有一台风中心，影响半径为20n mile，正以10$\sqrt{2}$n mile/h的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且（$\sqrt{3}$+1）h后开始影响基地持续2h，求台风移动的方向．

Answer 1

分析 如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B、C、D在一直线上，且AD=20、AC=20，在△ABC中，由余弦定理得∠BAC=30°，即可得出结论．

解答 解：如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B、C、D在一直线上，且AD=20、AC=20，
由题意AB=20（$\sqrt{3}$+1），DC=20$\sqrt{2}$，BC=（$\sqrt{3}$+1）•10$\sqrt{2}$
在△ADC中，∵DC²=AD²+AC²，
∴∠DAC=90°，∠ADC=45°
在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC=$\frac{A{C}^{2}+A{B}^{2}-B{C}^{2}}{2AC•AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴∠BAC=30°，
又∵B位于A南偏东60°，60°+30°+90°=180°，
∴D位于A的正北方向，
又∵∠ADC=45°，
∴台风移动的方向为向量$\overrightarrow{CD}$的方向，即北偏西45°方向
答：台风向北偏西45°方向移动．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．