Question

已知f（x）=x³-ax²-4x（a为常数），若函数f（x）在x=2处取得一个极值，
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若经过点A（2，c），（c≠-8）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．
（2）先根据导数运算对函数进行求导，再由切线斜率的值等于该点导函数的值，设切点是（x₀，x₀³-2x₀²-4x₀），写出切线方程，把点A（2，c）代入切线方程得到2x³-8x²+8x+8+c=0有三个不同的实根，最后结合导数研究函数g（x）=2x³-8x²+8x+8+c，的单调性邓可求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）f'（x）=3x²-2ax-4∴f'（2）=12-4a-4=0∴a=2∴f'（x）=3x²-4x-4由f'（x）＞0得x＞2或x＜-

2

3

∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-

2

3

），（2，+∞），f（x）的单调递减区间是（-

2

3

，2）
（2）f（x）=x³-2x²-4x
设切点是（x₀，x₀³-2x₀²-4x₀），则f'（x₀）=3x₀²-4x₀-4∴切线方程为y-（x₀³-2x₀²-4x₀）=（3x₀²-4x₀-4）（x-x₀）
把点A（2，c）代入上式得2x₀³-8x₀²+8x₀+8+c=0∵过点A可作y=f（x）的三条切线∴2x³-8x²+8x+8+c=0有三个不同的实根
设g（x）=2x³-8x²+8x+8+c，则g'（x）=6x²-16x+8，令g'（x）=0得x=

2

3

或x=2
∴g（x）在（-∞，

2

3

)，(2，+∞)上单调递增，在(

2

3

，2）上单调递减
由题意 

g(x)极大值=g( 2 3 )＞0 g(x)极小值=g(2)＜0

，解得-

280

27

＜c＜-8

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的单调性，利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．