题目内容
在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心．点P在棱CC1上，且CC1=4CP．（1）设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；
（2）求V锥P-ABD1．
分析：（1）连接A1C1，利用O点在平面D1AP上的射影是H，通过证明AP⊥面D1OH，然后证明D1H⊥AP；
（2）直接通过转化利用V锥P-ABD1=VQ-ABD1=VB-D1QA，求解V锥P-ABD1．
（2）直接通过转化利用V锥P-ABD1=VQ-ABD1=VB-D1QA，求解V锥P-ABD1．
解答：解：（1）证明：连接A1C1
∵正方体AC1∴O为A1C1的中点∴D1O⊥A1C1
又 A1A⊥面A1B1C1D1∴A1A⊥D1O∴D1O⊥面A1ACC1
AP?面A1ACC1∴D1O⊥AP
由已知OH⊥面AD1P∴OH⊥AP
∴AP⊥面D1OH，又D1H?面D1OH
∴AP⊥D1H（6分）
（2）解：在DD1上取点Q，使DQ=1
∴DQ
CP∴PQ
CD
又CD
AB∴PQ
AB
AB?面ABD1，PQ?面ABD1
∴PQ∥面ABD1
∴V锥P-ABD1=VQ-ABD1=VB-D1QA=
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•3•4•4=8（12分）
∵正方体AC1∴O为A1C1的中点∴D1O⊥A1C1
又 A1A⊥面A1B1C1D1∴A1A⊥D1O∴D1O⊥面A1ACC1
AP?面A1ACC1∴D1O⊥AP
由已知OH⊥面AD1P∴OH⊥AP
∴AP⊥面D1OH，又D1H?面D1OH
∴AP⊥D1H（6分）
（2）解：在DD1上取点Q，使DQ=1
∴DQ
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又CD
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AB?面ABD1，PQ?面ABD1
∴PQ∥面ABD1
∴V锥P-ABD1=VQ-ABD1=VB-D1QA=
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点评：本题考查直线与平面垂直的性质的应用，几何体的体积的求法，考查逻辑推理能力与计算能力．
练习册系列答案
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