Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB⊥BC，PC⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AB=BC，点E在棱PB上，且PD∥平面EAC．
（I）求证：PE=2EB；
（II）求二面角E-AD-C的大小．

Answer 1

分析：（I）由已知中PD∥平面EAC，连接BD交AC于O，连接OE，由线面平行的性质可得PD∥OE，结合已知中PC⊥AD，得AC⊥AD，令PA=AB=BC=1，我们可得CD=2，再由平行线分线段成比例定理，可得PE=2EB；
（II）过E作EF⊥AB于F，过F作FH⊥DH于H，由三垂线定理及二面角平面角的定义，可得∠EHF即为二面角E-AD-C的平面角，解三角形EHF即可得到二面角E-AD-C的大小．

解答： 证明：（I）设PA=AB=BC=1，连接BD交AC于O，
∵PD∥平面EAC
由线面平行的性质定理可得PD∥OE，
由PC⊥AD，得AC⊥AD，易求得CD=2，
∴PE：BE=OD：OB=CD：AB=2，
即PE=2EB．
解：（II）过E作EF⊥AB于F，过F作FH⊥DH于H．
则∠EHF即为二面角E-AD-C的平面角．
在RT△EHF，EF=

1

3

，FH

2

3

，
∴tan∠EHF=

2

2

∴二面角E-AD-C的大小arctan

2

2

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的性质，其中（I）的关键是利用线面平行的性质，得到PD∥OE，进而根据平行线分线段成比例定理，得到答案，（II）的关键是得到∠EHF即为二面角E-AD-C的平面角．