题目内容
【题目】已知正实数a，b，c满足a3+b3+c3＝1．
（Ⅰ）证明：a+b+c≥（a2+b2+c2）2；
（Ⅱ）证明：a2b+b2c+c2a≤1．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析
【解析】
(Ⅰ)利用柯西不等式直接证明即可；
(Ⅱ)先利用立方和公式及基本不等式可得a3+b3≥a2b+ab2，b3+c3≥b2c+bc2，a3+c3≥a2c+ac2，进而得2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2，再由a3≥2a2b﹣ab2，b3≥2b2c﹣bc2，c3≥2c2a﹣ca2，进而得
a3+b3+c3≥2(a2b+b2c+c2a)﹣ab2﹣bc2﹣ca2，进而得到3(a3+b3+c3)≥3(a2b+b2c+c2a)，由此得证．
证明：(Ⅰ)∵a3+b3+c3＝1，
∴a+b+c＝(a+b+c)(a3+b3+c3)
(a2+b2+c2)2，即得证．
(Ⅱ)a3+b3＝(a+b)(a2﹣ab+b2)≥(a+b)(2ab﹣ab)＝a2b+ab2，
同理b3+c3≥b2c+bc2，a3+c3≥a2c+ac2，
全部加起来得2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2，①
又a2+b2≥2ab，故a3+ab2≥2a2b，则a3≥2a2b﹣ab2，
同理b3≥2b2c﹣bc2，c3≥2c2a﹣ca2，
全部加起来得a3+b3+c3≥2(a2b+b2c+c2a)﹣ab2﹣bc2﹣ca2，②
由①②得3(a3+b3+c3)≥3(a2b+b2c+c2a)，
即a2b+b2c+c2a≤a3+b3+c3＝1，即得证．
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【题目】红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关.现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①
，②
分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图.
根据收集到的数据，计算得到如下值：
|
|
|
|
|
|
|
25 | 2.89 | 646 | 168 | 422688 | 48.48 | 70308 |
表中
；
；
；
；
（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并求温度为34℃时，产卵数y的预报值.
（参考数据：
，
，
，
）
附：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
.
【题目】某班级共有50名同学（男女各占一半），为弘扬传统文化，班委组织了“古诗词男女对抗赛”，将同学随机分成25组，每组男女同学各一名，每名同学均回答同样的五个不同问题，答对一题得一分，答错或不答得零分，总分5分为满分.最后25组同学得分如下表：
组别号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
男同学得分 | 5 | 4 | 5 | 5 | 4 | 5 | 5 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 4 |
女同学得分 | 4 | 3 | 4 | 5 | 5 | 5 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 | 3 | 5 |
分差 | 1 | 1 | 1 | 0 | -1 | 0 | 1 | -1 | -1 | -1 | 0 | 2 | -1 |
组别号 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | |
男同学得分 | 4 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | 4 | 3 | 3 | |
女同学得分 | 5 | 3 | 4 | 5 | 4 | 3 | 5 | 5 | 3 | 4 | 5 | 5 | |
分差 | -1 | 0 | 0 | -1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 2 | 0 | -2 | -2 | |
（I）完成
列联表，并判断是否有90%的把握认为“该次对抗赛是否得满分”与“同学性别”有关；
（Ⅱ）某课题研究小组假设各组男女同学分差服从正态分布
，首先根据前20组男女同学的分差确定
和
，然后根据后面5组同学的分差来检验模型，检验方法是：记后面5组男女同学分差与的差的绝对值分别为
，若出现下列两种情况之一，则不接受该模型，否则接受该模型.①存在
；②记满足
的i的个数为k，在服从正态分布的总体（个体数无穷大）中任意取5个个体，其中落在区间
内的个体数大于或等于k的概率为P，
.
试问该课题研究小组是否会接受该模型.
| 0.10 | 0.05 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 |
参考公式和数据：
，
；若
，有
，
.
