题目内容
如图，已知直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1），求p的值．
因为A、B两点在抛物线y2=2px上，设点A（
，y1），B（
，y2）
∵
⊥
∴
•
=
•
+y1y2=0⇒y1y2(
+1)=0
∵y1y2≠0，∴
+1=0⇒y1y2=-4p2…①
∵直线AB的斜率为k=
=
∴直线AB的方程为y-y1=
(x-
)，
令y=0，得-y1=
(x-
)⇒-y12-y1y2=2px-y12
∴-y1y2=2px…②
将①代入②，得4p2=2px⇒x=2p
所以直线AB经过x轴上的定点M（2p，0）
∵OD⊥AB，OD的斜率为k1=
=
∴直线AB的斜率为k=
=-2，
∴结合D、M的坐标，可得k=
=-2，解之得p=
．
| y12 |
| 2p |
| y22 |
| 2p |
∵
| OA |
| OB |
∴
| OA |
| OB |
| y12 |
| 2p |
| y22 |
| 2p |
| y1y2 |
| 4p2 |
∵y1y2≠0，∴
| y1y2 |
| 4p2 |
∵直线AB的斜率为k=
| y1-y2 | ||||
|
| 2p |
| y1+y2 |
∴直线AB的方程为y-y1=
| 2p |
| y1+y2 |
| y12 |
| 2p |
令y=0，得-y1=
| 2p |
| y1+y2 |
| y12 |
| 2p |
∴-y1y2=2px…②
将①代入②，得4p2=2px⇒x=2p
所以直线AB经过x轴上的定点M（2p，0）
∵OD⊥AB，OD的斜率为k1=
| 0-1 |
| 0-2 |
| 1 |
| 2 |
∴直线AB的斜率为k=
| -1 |
| k1 |
∴结合D、M的坐标，可得k=
| 0-1 |
| 2p-2 |
| 5 |
| 4 |
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