题目内容
【题目】已知椭圆,
,
,
,
四点中恰有三点在椭圆
上,抛物线
焦点到准线的距离为
.
(1)求椭圆、抛物线
的方程;
(2)过椭圆右顶点Q的直线
与抛物线
交于点A、B,射线
、
分别交椭圆
于点
、
.
(i)证明:为定值;
(ii)记、
的面积分别为
、
,求
的最小值.
【答案】(1);
;(2)(i)证明见解析;(ii)
.
【解析】
(1)先判断在椭圆上,代入求得
,得到椭圆
的方程,再根据焦点到准线的距离为
,求出
,得到抛物线
的方程;
(2)(i)设,与
的方程联立化简,
用坐标表示,利用根与系数的关系,即可证得
为定值;
(ii)设直线,与
联立,可求出
的纵坐标,同理
,可求出
的纵坐标,再将
表示出来并化简求最值.
(1)关于
轴对称,
关于
轴对称,
在
上,
若在
上,则
,
不在
上,
在
上,
,
,又
,
,
即椭圆,抛物线
.
(2)(i)设,代入
中,得
,
,
即为定值
.
(ii)设直线,将直线
代入
中得:
,
同理直线,得
,
则
当且仅当,即
时,
的最小值为
.

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