Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（a-1）{x}^{2}-2ax+b+2，x≤0\\（a-1）x+b+2，x＞0\end{array}\right.$，则以下命题中正确的是（1）（4）（把所有真命题的序号都填上）
（1）若a=b=2，则不等式f（x）＜9的解集为（-1，5）；
（2）若a=b=2，则函数f（x）为单调函数；
（3）对任意实数a，b，函数f（x）均为单调函数；
（4）若不等式f（x）＜0的解集为非空集合D，且D⊆（-1，2），则z=2a-b的取值范围为（4，+∞）；
（5）若不等式f（x）＜0的解集不可能为空集．

Answer 1

分析 将a=b=2代入，解不等式f（x）＜9，可判断（1）；
将a=b=2代入，分析函数f（x）的单调性，可判断（2），（3）；
根据不等式的解集关系转化为不等式组，利用数形结合以及线性规划的知识进行求解即可得到结论，可判断（4）；
举出反例，可判断（5）．

解答 解：（1）若a=b=2，则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-4x+4，x≤0\\ x+4，x＞0\end{array}\right.$
当x≤0时，解f（x）=x²-4x+4＜9得：x∈（-1，5）；
∴x∈（-1，0]，
当x＞0时，解f（x）=x+4＜9得：x∈（-∞，5）；
∴x∈（0，5），
综上所述，不等式f（x）＜9的解集为（-1，5），故（1）正确；
（2）若a=b=2，则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-4x+4，x≤0\\ x+4，x＞0\end{array}\right.$
当x≤0时，f（x）=x²-4x+4为减函数，
当x＞0时，f（x）=x+4为增函数，
函数f（x）不为单调函数，故（2）（3）错误；
（4）∵不等式f（x）＜0的解集为非空集合D，且D⊆（-1，2），
∴等价为$\left\{\begin{array}{l}a-1＞0\\ f（-1）=3a+b+1≥0\\ f（0）=b+2≥0\\ f（2）=2a+b≥0\end{array}\right.$
由z=2a-b得b=2a-z，
作出不等式组对应的平面区域如图，

平移直线b=2a-z，由图象可知
当直线b=2a-z经过点A时，直线的截距最大，此时z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}a-1=0\\ b+2=0\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\end{array}\right.$，
即A（1，-2），
此时z=2a-b=2-（-2）=4，
故z∈（4，+∞），故（4）正确；
解当a=b=1时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-2x+3，x≤0\\ 3，x＞0\end{array}\right.$∈[3，+∞），
此时不等式f（x）＜0的解集为空集，故（5）错误；
故正确的命题有：（1）（4），
故答案为：（1）（4）

点评 本题主要分段函数的应用，考查线性规划的应用，根据不等式的关系转化为不等式组，利用线性规划的知识以及数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．