题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若函数在点处的切线的斜率为,证明:当时,.
【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)求得函数的定义域以及导数,分、、三种情况讨论,分析导数的符号变化,由此可得出函数的单调递增区间和递减区间;
(2)由已知条件求得,可得,由得出,令,利用导数求得函数在上的最小值,由此可证得结论.
(1)函数的定义域为,
.
,令得或.
①当时,即当时,
令,得;令,得或.
此时,函数单调递减区间为,单调递增区间为和;
②当时,即当时,对任意的,,
此时,函数的单调递增区间为,无单调递减区间;
③当时,即当时.
令,得;令,得或.
此时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为和.
综上所述,当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为和;
当时,函数的单调递增区间为,无单调递减区间;
当时,函数单调递减区间为,单调递增区间为和;
(2)由已知条件得,解得,
所以,,
要证即证,
令,其中,
则,令,其中,
当时,,
所以,函数在区间上单调递增,
,当时,,此时,函数单调递减;
当时,,此时,函数单调递增.
所以,当时,函数取得最小值,即.
因此,对任意的,.
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