Question

13．如图，圆O的半径OC垂直于直径AB，弦CD交半径OA于E，过D的切线与BA的延长线交于M．
（I）求证：MD=ME；
（2）设圆O的半径为1，MD=$\sqrt{3}$，求MA及CE的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件推导出∠MDE=∠MED，由此利用∠BMD=40°，能求出∠MED．
（Ⅱ）由已知条件求出OM=2，从而能求出MA=1，OE=2-$\sqrt{3}$，由此利用余弦定理能求出CD的长．

解答 （Ⅰ）证明：连接OD，
∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，
∵MD切圆O于D，∴∠ODM=∠ODC+∠MDE=90°，
∵OC⊥AB，∴∠OCD+∠OEC=90°，∴∠OEC=∠MDE，
∵∠OEC=∠MED，∴∠MDE=∠MED，
∴MD=ME；
（Ⅱ）解：∵∠ODM=90°，OD=1，MD=$\sqrt{3}$，∴OM=2，
∵OA=1，∴MA=OM-OA=1，
∵ME=MD=$\sqrt{3}$，∴OE=OM-ME=2-$\sqrt{3}$，
∵OC⊥OE，OC=1，
∴CE²=1+（2-$\sqrt{3}$）²=8-4$\sqrt{3}$=（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）²，
∴CE=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$

点评 本题考查角的求法和线段长的求法，是中档题，解题时要注意勾股定理和余弦定理的合理运用．