题目内容
13．正实数数列{an}满足：a1=1，a9=7，且an+1=$\frac{（{a}_{n}+1）^2-（{a}_{n-1}+1）}{{a}_{n-1}+1}$（n∈N+，n≥2）则a5=（ ）| A． | 4 | B． | 3 | C． | 16 | D． | 9 |
分析 由数列递推式得到数列{an+1}是等比数列，由等比数列的性质结合已知求得答案．
解答 解：由an+1=$\frac{（{a}_{n}+1）^2-（{a}_{n-1}+1）}{{a}_{n-1}+1}$，得${a}_{n+1}=\frac{（{a}_{n}+1）^{2}}{{a}_{n-1}+1}-1$，
即$（{a}_{n+1}+1）（{a}_{n-1}+1）=（{a}_{n}+1）^{2}$（n∈N+，n≥2），
∴数列{an+1}是等比数列，
则$（{a}_{5}+1）^{2}=（{a}_{1}+1）（{a}_{9}+1）=2×8=16$，
∵an＞0，∴a5+1=4，则a5=3．
故选：B．
点评 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的性质，是中档题．
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