题目内容
【题目】已知抛物线
的焦点为
，过点，斜率为1的直线与抛物线
交于点
，
，且
.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点
作直线交抛物线于不同于
的两点
、
，若直线
，
分别交直线
于
两点，求
取最小值时直线
的方程.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）直曲联立表示出抛物线弦长
，得到关于
的方程，求出，得到抛物线的方程.
（2）直线
与抛物线联立，得到
、
，再根据题意，得到
点和
点的坐标，用
和
表示出
，代入、的关系，得到函数，求出最小值.从而得到直线的方程.
（1）
，直线
的方程为
，
由
，联立，
得
，
，
，
，
抛物线的方程为：.
（2）设
，
，直线的方程为：
，
联立方程组
消元得：
，
∴
，
.
∴
.
设直线
的方程为
，
联立方程组
解得
，
又
，∴
.
同理得
.
∴
.
令
，
，则
.
∴
.
∴当
即
时，
取得最小值.
此时直线的方程为
，即
.
【题目】为了调查民众对国家实行“新农村建设”政策的态度，现通过网络问卷随机调查了年龄在20周岁至80周岁的100人，他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数如下表：
年龄 |
|
|
|
|
|
|
频数 | 10 | 20 | 30 | 20 | 10 | 10 |
支持“新农村建设” | 3 | 11 | 26 | 12 | 6 | 2 |
（1）根据上述统计数据填下面的
列联表，并判断是否有
的把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异；
年龄低于50岁的人数 | 年龄不低于50岁的人数 | 合计 | |
支持 | |||
不支持 | |||
合计 |
（2）为了进一步推动“新农村建设”政策的实施，中央电视台某节目对此进行了专题报道，并在节目最后利用随机拨号的形式在全国范围内选出4名幸运观众（假设年龄均在20周岁至80周岁内），给予适当的奖励.若以频率估计概率，记选出4名幸运观众中支持“新农村建设”人数为
，试求随机变量的分布列和数学期望.
参考数据：
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式：
，其中
.
