题目内容
在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，EF与BD交于点G．（1）求二面角B1-EF-B的正切值；
（2）M为棱BB1上的一点，当
| B1M | MB |
分析：（1）根据正方体的性质，根据正方体的底面的两条对角线垂直和三角形的中位线平行于底边，得到线与线垂直，得到线面垂直，得到∠B1GB是二面角B1-EF-B的平面角，求出角的正切值．
（2）当两条线的比值等于1时满足条件，下面证明这个结论成立，要证明一条直线垂直于一个平面，需要从平面上找两条相交直线与已知直线垂直，在平面上找到B1E，EF与已知直线垂直．
（2）当两条线的比值等于1时满足条件，下面证明这个结论成立，要证明一条直线垂直于一个平面，需要从平面上找两条相交直线与已知直线垂直，在平面上找到B1E，EF与已知直线垂直．
解答：解：（1）在底面ABCD中，∵AC⊥BD，EF∥AC，∴BG⊥EF，连接B1G．
又∵BB1⊥ABCD，∴B1G⊥EF．
则∠B1GB是二面角B1-EF-B的平面角，BG=
BD=
a，
tan∠B1GB=
=2
．
（2）当
=1时满足题意．
证明：D1A1⊥面AB1，知D1M在面AB1的射影是A1M，
∵△A1MB≌△B1EB，∴A1M⊥B1E，即D1M⊥B1E．
因为DD1⊥平面ABCD，所以BD为D1M在平面ABCD内射影，
连接AC，因为E、F为中点，所以AC∥EF，
又因为BD⊥EF，所以D1M⊥EF．又因为B1E∩EF=E．
∴D1M⊥平面EFB1
又∵BB1⊥ABCD，∴B1G⊥EF．
则∠B1GB是二面角B1-EF-B的平面角，BG=
| 1 |
| 4 |
| ||
| 4 |
tan∠B1GB=
| B1B |
| BG |
| 2 |
（2）当
| B1M |
| MB |
证明：D1A1⊥面AB1，知D1M在面AB1的射影是A1M，
∵△A1MB≌△B1EB，∴A1M⊥B1E，即D1M⊥B1E．
因为DD1⊥平面ABCD，所以BD为D1M在平面ABCD内射影，
连接AC，因为E、F为中点，所以AC∥EF，
又因为BD⊥EF，所以D1M⊥EF．又因为B1E∩EF=E．
∴D1M⊥平面EFB1
点评：本题考查直线与平面垂直的判断和求二面角的正切值，本题是利用几何方法来解题的，没有涉及空间向量，解题的关键是做出二面角的平面角．
练习册系列答案
活力课时同步练习册系列答案
相关题目
πa2
