题目内容
已知椭圆的一个焦点



(1)求椭圆的方程;
(2)试问是否存在直线l,使l与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN恰被直线

【答案】分析:(1)由于
成等比数列求得离心率e,设p(x,y)是椭圆上任意一点,依椭圆的定义得x,y的关系式,即为所求的椭圆方程.
(2)对于存在性问题,可先假设存在,即假设l存在,设l的方程为:y=kx+m,将直线的方程代入椭圆的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根系数的关系利用中点坐标公式即可求得倾斜角的取值范围,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在.
解答:解:(1)∵
成等比数列∴

设p(x,y)是椭圆上任意一点,依椭圆的定义得
即
为所求的椭圆方程.
(2)假设l存在,因l与直线
相交,不可能垂直x轴
因此可设l的方程为:y=kx+m
由
(k2+9)x2+2kmx+(m2-9)=0①
方程①有两个不等的实数根
∴△=4k2m2-4(k2+9)(m2-9)>0即m2-k2-9<0②
设两个交点M、N的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)
∴
∵线段MN恰被直线
平分
∴
∵k≠0∴
③把③代入②得 
∵k2+9>0∴
∴k2>3解得
或
∴直线l的倾斜角范围为
点评:本题考查椭圆的标准方程,以及简单性质的应用,注意(2)的处理存在性问题的一般方法,首先假设存在,进而根据题意、结合有关性质,化简、转化、计算,最后得到结论.

(2)对于存在性问题,可先假设存在,即假设l存在,设l的方程为:y=kx+m,将直线的方程代入椭圆的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根系数的关系利用中点坐标公式即可求得倾斜角的取值范围,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在.
解答:解:(1)∵



设p(x,y)是椭圆上任意一点,依椭圆的定义得

即

(2)假设l存在,因l与直线

因此可设l的方程为:y=kx+m
由

(k2+9)x2+2kmx+(m2-9)=0①
方程①有两个不等的实数根
∴△=4k2m2-4(k2+9)(m2-9)>0即m2-k2-9<0②
设两个交点M、N的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)
∴

∵线段MN恰被直线

∴

∵k≠0∴


∵k2+9>0∴



∴直线l的倾斜角范围为

点评:本题考查椭圆的标准方程,以及简单性质的应用,注意(2)的处理存在性问题的一般方法,首先假设存在,进而根据题意、结合有关性质,化简、转化、计算,最后得到结论.

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